Блог Коряковцева Нина Владимировна

Из задач Л.Н. Толстого (фальшивые деньги)

Из задач Л.Н. Толстого «Фальшивые деньги»

Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублёвку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублёвку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушёл, пришёл сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублёвка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей. Спрашивается, сколько хозяин магазина понёс в этом деле убытку?

Решение.

Казалось бы, что хозяин отдал 25 рублей, да 15 рублей сдачи, да ещё шапку. На самом...

Из задач Л. Н. Толстого (Загадочная копейка)

Из задач Л.Н. Толстого (Загадочная копейка)

Две торговки продавали сливы. У каждой было по 30 слив. Одна отдавала за копейку 2 сливы, другая – 3 сливы. Торговки решили соединить все сливы вместе и продавать 5 штук за 2 копейки. Одна торговка по первоначальному расчёту должна была получить 15 копеек, а другая - 10 копеек. Однако за 60 слив они получили только 24 копейки, так как 60:5=12, 122=24. Куда девалась одна копейка?

Решение.

Стоимость одной сливы у первой торговки составила ½ копейки, а у второй – 1/3 копейки.

Старинная французская задача (XVII век)

Старинная французская задача (XVII век)

Трое имеют по некоторой сумме каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. Наконец, и третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у каждого оказывается по 8 экю (монет). Сколько денег было у каждого вначале?

Решение.

Решаем задачу «обратным ходом». Рассуждаем так: всего монет было 24. Третий отдал первому и второму столько, сколько у них было, а так как у них стало по 8, то отдал он им по 4 монеты, зн...

Задача о делимости яиц

Задача о делимости яиц.

Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзину, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц?» - спросил он. «Не знаю, - ответила крестьянка. – Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила их по 7, то остатка не было». Сколько яиц было в корзине?

Решение.

В корзине было такое количество яиц, что при делении на 2, 3, 4, 5, 6 давало остаток 1. Значит, нужно подобрать такое число, которое делилось бы на все эти числа, добавить к нем...

Задача о фараоне

Задача о фараоне (из задач Анании).

Фараон праздновал день своего рождения, и обычай был у него раздавать в этот день десяти вельможам по достоинству каждого сто карасов вина (мера ёмкости). Раздели это сообразно достоинству всех десяти.

(смысл слов «сообразно достоинству каждого» означает, что доля первого относится к доле второго как 1:2, доля второго к доле третьего как 2:3 и т.д.)

Решение.

Доли каждого зафиксируем в частях: у первого – 1 часть, у второго – 2 части, и т.д. В сумме получается 55 долей; 100:55 = 1 9/11 – одна часть, 3 7/11 – две...

Задача о налогах (задача Анании)

Задача о налогах (задача Анании)

Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины (налога) половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что у него осталось), и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было); когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов (денежных единиц). Сколько всего дахеканов было вначале у купца?

Решение.

Если эту задачу решать «в лоб», то есть прямым ходом, то получаются довольно затруднительные вычисления. Лучше её решать «обратным ходом».

Старинная индийская задача (VII век н.э.)

Старинна индийская задача (VII век н.э.)

Пятая часть пчелиного роя сидит на цветках жасмина, одна треть – на цветках гиацинта. Утроенная разность последних двух чисел пчёл отправилась к цветкам роз. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд. Скажи мне, сколько всех пчёл?

Решение.

Задачу можно отнести к задачам на делимость чисел.

Все пчёлки должны делиться на 3 и на 5.

Самое маленькое число, отвечающее этим свойствам – 15.

Проверяем: 15 : 3 + 15 : 5 = 8 (пчёл) сидят на цветах жасмина;

Сколько километров пролетит муха?

Из города А со скоростью 10 км/ч выезжает верховой; навстречу ему из города В, находящегося от первого на расстоянии 90 км, одновременно выезжает со скорость 20 км/ч велосипедист. В момент выезда верхового, сидевшая на нём муха вылетает со скоростью 60 км/ч навстречу велосипедисту; долетев до него, муха немедленно поворачивает обратно, долетает до верхового, вновь поворачивает и т. д. до момента встречи верхового и велосипедиста между собой. Сколько километров пролетит муха?

Задача имеет простое арифметическое решение:

60:(90:(10+20)=180 (км)

Задачи Древней Греции.

Задачи Древней Греции.

Задача 1.

Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую в юности; после седьмой части, проведённой в бездетном супружестве, и ещё 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года. Скольких лет умер Диофант?

Решение: Все части жизни Диофанта складываем и получаем 25/28, остаток жизни выражается частью 3/28. Эта часть равна 9 годам жизни.

9 : 3/28 = 84 (года)

Ответ: 84 года жил Диофант.

Старинная задача из Египта (2000 лет до н. э.)

Старинная задача из Египта (2000 лет до н. э.)

Приходит пастух с 70 быками. Счётчик скота спрашивает его: «Сколько скота приводишь ты из своего многочисленного стада?» Ему сказано пастухом: «Я привёл тебе две трети от трети скота; определи, сколько скота в стаде».

Старинная логическая задача.

Старинная логическая задача.

Отец завещал трём своим сыновьям 19 лошадей. Старший сын должен был получить ½, средний ¼, а младший 1/5всех лошадей. Когда отец умер, сыновья никак не могли поделить между собой завещанных им лошадей и решили обратиться за помощью к приятелю отца. Тот, подумав, решил помочь братьям. Для этого он привёл свою лошадь, так что оказалось всего 20 лошадей. Как поделили наследство?

Задачи Ефима Войтяховского из «Курса чистой математики»

Задачи Ефима Войтяховского из «Курса чистой математики»

Две задачи из курса "Чистая математика"

Задача 1. На вопрос: который час? – ответствовано: 2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение.

Если сейчас х часов, то есть прошло времени от полуночи х часов, то до полудня осталось (12 – х) часов.

По условию задачи: 2/5х = 2/3(12 – х), решая это уравнение получаем 7 часов 30 минут.

Ответ: 7 ч. 30 мин.

Задача о гвоздях Л.Ф. Магницкого.

Задача о гвоздях Л.Ф. Магницкого.

«Некий человек продае коня за 156 рублёв; раскаявся же, купец начаотдавати продавцу глагол: «Яко несть мне леповзятисицевого коня, недостойного такие высокие цены». Продавец предложи ину куплю, глаголя: «Аще те мнится велика цена сему коню быти, убо купи гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове по шести, и за един гвоздь даждь ми полушку (1/4 копейки), за другой же – две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи». Купец же, видя столь малую цену и коня хотя в дар...

Задача-шутка из рукописи ХVIIвека.

Задача-шутка из рукописи ХVIIвека.

Лев съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс – овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

В рукописи предлагается такой приём решения:

За 12 часов лев съедает 12 овец, волк – 6, а пёс – 4. Всего же они съедают за 12 часов 22 овцы; следовательно, в час они съедают 22/12=11/6 овцы, а одну овцу вместе – в 6/11 часа.

Как решал задачи Магницкий

Как решал задачи Л.Ф. Магницкий (правило ложного положения)

Задача. Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Магницкий даёт такой способ решения.

Делаем первое предположение: учеников было 24.

Тогда по условию задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолько, четверть столько и 1», по...

Старинная армянская задача.

Старинная армянская задача.

Во время известного восстани армн против персов, когда Заурак Камсаракан убил Сурена, один из азатов армянских отправил посла к персидскому царю, чтобы доложить ему эту печальную весть; он проезжал в день по пятьдеся миль; когда узнал об этом, спустя пятнадцать дней, Заурак Камсаракан, он отправил погоню вернуть его; гонцы проезжали в день по восемьдесят миль.

Итак, узнай, во сколько дней они могли нагнать посла.

Решение.

15х50 = 750 (миль) - проехал гонец за 15 дней;

80 – 50 = 30 (миль/день) – разница скоростей;

Задача Анании

Задача Анании (Армения, VII век)

Слышал я от отца своего следующее: «Во время известных войн армян с персами Заураком Камсараканом были совершены чрезвычайные подвиги: будто бы напав на персидские войска трижды в течение месяца, он сразил в первый раз половину войска и, преследуя, во второй раз перебил четвёртую часть часть войск и в третий раз – одиннадцатую; оставшиеся в живых, в числе двухсот восьмидесяти, обратились в бегство в Нахчаван»

Итак, мы должны узнать по этому остатку, сколько их было до избиения.

Решение.

Старинная задача - шутка

Старинная задача – шутка.

Шесть рыбаков съели шесть судаков за шесть дней. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков? (Аппетиты у всех одинаковы).

Решение.

Один рыбак съел 1 судака за 6 дней, а 10 рыбаков съедят за 6 дней в 10 раз больше, то есть 10 судаков. Значит 10 рыбаков съедят 10 судаков за 6 дней.

Ответ: за 6 дней.

Задача Западной Европы

Задача Западной Европы.

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы – также 1 монета и, наконец, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение.

Пусть х – число воробьёв, у – число горлиц, z – число голубей,

тогда х + у + z = 30 (1), а

х:3 + у:2 + 2z = 30 (2).

Первое уравнение умножаем на (-2), получаем -2х – 2у – 2z = - 60.

Задача И. Ньютона

Задача И. Ньютона.

Некий торговец каждый гол увеличивает на одну треть своё состояние, уменьшенное на 100 фунтов, которые ежегодно затрачивает на свою семью. Через три года он обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале?

Решение.

Пусть состояние торговца х фунтов. В первый год его состояние будет:

(х – 100 + (х – 100):3 = (4х – 400):3) (фунтов);

во второй год:

((4х – 400):3 – 100 + (4х – 400):9 – 100:3)=(16х – 2800):9 (фунтов);

в третий год: