Задача на простые числа в пределах 100 и об олимпиадах

За участие в олимпиадах ученики получили дипломы: а - участников областной олимпиады, в - участников районной олимпиады и с - участников школьной олимпиады, всего менее 100 учеников. Найдите число награждённых участников олимпиады, если известно, что число участников каждой олимпиады является простым числом и неравные между собой числа а, в и с связаны соотношением в(в+с)=а+8.

Решение.

Если а=2, то в(в+с)=10=2х5, то есть в=2, но а, в, с - неравные числа. а - не равно 2, то есть а - нечётное простое число, тогда а+8 - нечётное число, следовательно, в и (в+с) - нечётные числа, тогда с - чётное (и простое по условию), то есть с=2.

Имеем следующее равенство: в(в+2)=а+8, или в(в+2)-8=а.

Если в=3, то а=3х(3+2)-8=7;

если в=5, то а=27 - составное число;

если в =7, то а=55 - составное число;

если в=11, то а=135 - больше 100.

Дальнейший перебор чисел не нужен.

Ответ: премировано 7 участников областной, 3 участника районной и 2 участника школьной олимпиад.